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人教教案 >> 人教版一年级上册 >> 2018届成都市中考数学基础巩固专题复习(十)圆    热   

2018届成都市中考数学基础巩固专题复习(十)圆
作者:佚名    转贴自:本站原创    点击数:476

走进2018年中考初中数学基础巩固复习专题(十)圆
【知识要点】
知识点1:知识点之间的关系
 知识点2:圆的有关性质和计算
①弧、弦、圆心角之间的关系:
在同圆或等圆中,如果两条劣弧(优弧)、两个圆心角中有一组量对应相等,那么它们所对应的其余各组量也分别对应相等.
②垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.
垂径定理的推论:
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.
弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧.
平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧.
③在同一圆内,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于该弧所对的圆心角的一半.
④圆内接四边形的性质:
圆的内接四边形对角互补,并且任何一个外角等于它的内对角.
知识点3:点与圆的位置关系
①设点与圆心的距离为 ,圆的半径为 ,
则点在圆外 ;     点在圆上 ;   点在圆内 .
②过不在同一直线上的三点有且只有一个圆.  一个三角形有且只有一个外接圆.
③三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点.
三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等.
知识点4:直线与圆的位置关系
①设圆心到直线的距离为 ,圆的半径为 ,
则直线与圆相离 ;直线与圆相切 ;直线与圆相交 .
②切线的性质:与圆只有一个公共点;
圆心到切线的距离等于半径;
圆的切线垂直于过切点的半径.
③切线的识别:如果一条直线与圆只有一个公共点,那么这条直线是圆的切线.
到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线.
经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
④三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点.
三角形的内心到三角形三边的距离相等.
⑤切线长:圆的切线上某一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长.
⑥切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等.
这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角.
知识点5:圆与圆的位置关系
①圆与圆的位置关系有五种:外离、外切、相交、内切、内含.
    设两圆心的距离为 ,两圆的半径为 ,则两圆外离
                                            两圆外切
                                            两圆相交
                                            两圆内切
                                            两圆内含
②两个圆构成轴对称图形,连心线(经过两圆圆心的直线)是对称轴.
由对称性知:两圆相切,连心线经过切点.两圆相交,连心线垂直平分公共弦.
③两圆公切线的定义:和两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线.
两个圆在公切线同旁时,这样的公切线叫做外公切线.
两个圆在公切线两旁时,这样的公切线叫做内公切线.
④公切线上两个切点的距离叫做公切线的长. 
知识点6:与圆有关的计算
①弧长公式:       扇形面积公式:
(其中 为圆心角的度数, 为半径)
②圆柱的侧面展开图是矩形.
圆柱体也可以看成是一个矩形以矩形的一边为轴旋转而形成的几何体.
圆柱的侧面积=底面周长×高   
圆柱的全面积=侧面积+2×底面积
③圆锥的侧面展开图是扇形,这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长,扇形的半径等于圆锥的母线长.
圆锥体可以看成是由一个直角三角形以一条直角边为轴旋转而成的几何体.
④圆锥的侧面积= ×底面周长×母线;圆锥的全面积=侧面积+底面积

【复习点拨】
(1)掌握圆的有关概念和计算
①知道圆由圆心与半径确定,了解圆的对称性.
②通过图形直观识别圆的弦、弧、圆心角等基本元素.
③利用圆的对称性探索弧、弦、圆心角之间的关系,并会进行简单计算和说理.
④探索并了解圆周角与圆心角的关系、直径所对圆周角的特征.
⑤掌握垂径定理及其推论,并能进行计算和说理.
⑥了解三角形外心、三角形外接圆和圆内接三角形的概念.
⑦掌握圆内接四边形的性质
(2)点与圆的位置关系
①能根据点到圆心的距离和半径的大小关系确定点与圆的位置关系.
②知道“不在同一直线上的三个点确定一个圆”并会作图.
(3)直线与圆的位置关系
①能根据圆心到直线的距离和半径的大小关系确定直线与圆的位置关系.
②了解切线的概念.
③能运用切线的性质进行简单计算和说理.
④掌握切线的识别方法.
⑤了解三角形内心、三角形内切圆和圆的外切三角形的概念.
⑥能过圆上一点画圆的切线并能利用切线长定理进行简单的切线计算.
(4)圆与圆的位置关系
①了解圆与圆的五种位置关系及相应的数量关系.
②能根据两圆的圆心距与两圆的半径之间的数量关系判定两圆的位置关系.
③掌握两圆公切线的定义并能进行简单计算
(5)圆中的计算问题
①掌握弧长的计算公式,由弧长、半径、圆心角中已知两个量求第三个量.
②掌握求扇形面积的两个计算公式,并灵活运用.
③了解圆锥的高、母线等概念.
④结合生活中的实例(模型)了解圆柱、圆锥的侧面展开图.
⑤会求圆柱、圆锥的侧面积、全面积,并能结合实际问题加以应用.
⑥能综合运用基本图形的面积公式求阴影部分面积.
【典例解析】
例题1:(2017山东枣庄)如图,在网格(每个小正方形的边长均为1)中选取9个格点(格线的交点称为格点),如果以A为圆心,r为半径画圆,选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内,则r的取值范围为(  )
 
A.2 <r<  B. <r<3  C. <r<5 D.5<r<
【考点】M8:点与圆的位置关系;KQ:勾股定理.
【分析】利用勾股定理求出各格点到点A的距离,结合点与圆的位置关系,即可得出结论.
【解答】解:给各点标上字母,如图所示.
AB= =2 ,AC=AD= = ,AE= =3 ,AF= = ,AG=AM=AN= =5,
∴ <r<3 时,以A为圆心,r为半径画圆,选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内.
故选B.
 
例题2:如图,OA、OC是⊙O的半径,点B在⊙O上,连接AB、BC,若∠ABC=40°,则∠AOC= 80 度.
 
【分析】直接根据圆周角定理即可得出结论.
【解答】解:∵∠ABC与AOC是同弧所对的圆周角与圆心角,∠ABC=40°,
∴∠AOC=2∠ABC=80°.
故答案为:80.
【点评】本题考查的是圆周角定理,熟知在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键.
例题3:(2017浙江衢州)如图,AB为半圆O的直径,C为BA延长线上一点,CD切半圆O于点D,连接OD.作BE⊥CD于点E,交半圆O于点F.已知CE=12,BE=9.
(1)求证:△COD∽△CBE.
(2)求半圆O的半径r的长.
 
【考点】S9:相似三角形的判定与性质;MC:切线的性质.
【分析】(1)由切线的性质和垂直的定义得出∠E=90°=∠CDO,再由∠C=∠C,得出△COD∽△CBE.
(2)由勾股定理求出BC= =15,由相似三角形的性质得出比例式,即可得出答案.
【解答】(1)证明:∵CD切半圆O于点D,
∴CD⊥OD,
∴∠CDO=90°,
∵BE⊥CD,
∴∠E=90°=∠CDO,
又∵∠C=∠C,
∴△COD∽△CBE.
(2)解:在Rt△BEC中,CE=12,BE=9,
∴BC= =15,
∵△COD∽△CBE.
∴ ,即 ,
解得:r= .
例题4:(2017山东枣庄)如图,在▱ABCD中,AB为⊙O的直径,⊙O与DC相切于点E,与AD相交于点F,已知AB=12,∠C=60°,则 的长为 π .
 
【考点】MC:切线的性质;L5:平行四边形的性质;MN:弧长的计算.
【分析】先连接OE、OF,再求出圆心角∠EOF的度数,然后根据弧长公式即可求出 的长.
【解答】解:如图连接OE、OF,
 
∵CD是⊙O的切线,
∴OE⊥CD,
∴∠OED=90°,
∵四边形ABCD是平行四边形,∠C=60°,
∴∠A=∠C=60°,∠D=120°,
∵OA=OF,
∴∠A=∠OFA=60°,
∴∠DFO=120°,
∴∠EOF=360°﹣∠D﹣∠DFO﹣∠DEO=30°,
 的长= =π.
故答案为:π.
例题5:(2017浙江衢州)运用图形变化的方法研究下列问题:如图,AB是⊙O的直径,CD、EF是⊙O的弦,且AB∥CD∥EF,AB=10,CD=6,EF=8.则图中阴影部分的面积是(  )
 
A. π B.10π C.24+4π D.24+5π
【考点】MO:扇形面积的计算;M5:圆周角定理.
【分析】作直径CG,连接OD、OE、OF、DG,则根据圆周角定理求得DG的长,证明DG=EF,则S扇形ODG=S扇形OEF,然后根据三角形的面积公式证明S△OCD=S△ACD,S△OEF=S△AEF,则S阴影=S扇形OCD+S扇形OEF=S扇形OCD+S扇形ODG=S半圆,即可求解.
【解答】解:作直径CG,连接OD、OE、OF、DG.
∵CG是圆的直径,
∴∠CDG=90°,则DG= = =8,
又∵EF=8,
∴DG=EF,
∴ = ,
∴S扇形ODG=S扇形OEF,
∵AB∥CD∥EF,
∴S△OCD=S△ACD,S△OEF=S△AEF,
∴S阴影=S扇形OCD+S扇形OEF=S扇形OCD+S扇形ODG=S半圆= π×52= π.
故选A.
 
 
例题6:(2017山东枣庄)如图,在△ABC中,∠C=90°,∠BAC的平分线交BC于点D,点O在AB上,以点O为圆心,OA为半径的圆恰好经过点D,分别交AC,AB于点E,F.
(1)试判断直线BC与⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)若BD=2 ,BF=2,求阴影部分的面积(结果保留π).
 
【考点】MB:直线与圆的位置关系;MO:扇形面积的计算.
【分析】(1)连接OD,证明OD∥AC,即可证得∠ODB=90°,从而证得BC是圆的切线;
(2)在直角三角形OBD中,设OF=OD=x,利用勾股定理列出关于x的方程,求出方程的解得到x的值,即为圆的半径,求出圆心角的度数,直角三角形ODB的面积减去扇形DOF面积即可确定出阴影部分面积.
【解答】解:(1)BC与⊙O相切.
证明:连接OD.
∵AD是∠BAC的平分线,
∴∠BAD=∠CAD.
又∵OD=OA,
∴∠OAD=∠ODA.
∴∠CAD=∠ODA.
∴OD∥AC.
∴∠ODB=∠C=90°,即OD⊥BC.
又∵BC过半径OD的外端点D,
∴BC与⊙O相切.
(2)设OF=OD=x,则OB=OF+BF=x+2,
根据勾股定理得:OB2=OD2+BD2,即(x+2)2=x2+12,
解得:x=2,即OD=OF=2,
∴OB=2+2=4,
∵Rt△ODB中,OD= OB,
∴∠B=30°,
∴∠DOB=60°,
∴S扇形AOB= = ,
则阴影部分的面积为S△ODB﹣S扇形DOF= ×2×2 ﹣ =2 ﹣ .
故阴影部分的面积为2 ﹣ .
 
例题7:(2017江西)如图1,⊙O的直径AB=12,P是弦BC上一动点(与点B,C不重合),∠ABC=30°,过点P作PD⊥OP交⊙O于点D.
 
(1)如图2,当PD∥AB时,求PD的长;
(2)如图3,当 = 时,延长AB至点E,使BE= AB,连接DE.
①求证:DE是⊙O的切线;
②求PC的长.
【考点】MR:圆的综合题.
【分析】(1)根据题意首先得出半径长,再利用锐角三角三角函数关系得出OP,PD的长;
(2)①首先得出△OBD是等边三角形,进而得出∠ODE=∠OFB=90°,求出答案即可;
②首先求出CF的长,进而利用直角三角形的性质得出PF的长,进而得出答案.
【解答】解:(1)如图2,连接OD,
∵OP⊥PD,PD∥AB,
∴∠POB=90°,
∵⊙O的直径AB=12,
∴OB=OD=6,
在Rt△POB中,∠ABC=30°,
∴OP=OB•tan30°=6× =2 ,
在Rt△POD中,
PD= = =2 ;

(2)①证明:如图3,连接OD,交CB于点F,连接BD,
∵ = ,
∴∠DBC=∠ABC=30°,
∴∠ABD=60°,
∵OB=OD,
∴△OBD是等边三角形,
∴OD⊥FB,
∵BE= AB,
∴OB=BE,
∴BF∥ED,
∴∠ODE=∠OFB=90°,
∴DE是⊙O的切线;

②由①知,OD⊥BC,
∴CF=FB=OB•cos30°=6× =3 ,
在Rt△POD中,OF=DF,
∴PF= DO=3(直角三角形斜边上的中线,等于斜边的一半),
∴CP=CF﹣PF=3 ﹣3.
 
例题8:(2017湖南株洲)
.如图示AB为⊙O的一条弦,点C为劣弧AB的中点,E为优弧AB上一点,点F在AE的延长线上,且BE=EF,线段CE交弦AB于点D.
①求证:CE∥BF; 
②若BD=2,且EA:EB:EC=3:1: ,求△BCD的面积(注:根据圆的对称性可知OC⊥AB).
 
【考点】S9:相似三角形的判定与性质;M2:垂径定理.
【分析】①连接AC,BE,由等腰三角形的性质和三角形的外角性质得出∠F= ∠AEB,由圆周角定理得出∠AEC=∠BEC,证出∠AEC=∠F,即可得出结论;
②证明△ADE∽△CBE,得出 ,证明△CBE∽△CDB,得出 ,求出CB=2 ,得出AD=6,AB=8,由垂径定理得出OC⊥AB,AG=BG= AB=4,由勾股定理求出CG= =2,即可得出△BCD的面积.
【解答】①证明:连接AC,BE,作直线OC,如图所示:
∵BE=EF,
∴∠F=∠EBF;
∵∠AEB=∠EBF+∠F,
∴∠F= ∠AEB,
∵C是 的中点,∴ ,
∴∠AEC=∠BEC,
∵∠AEB=∠AEC+∠BEC,
∴∠AEC= ∠AEB,
∴∠AEC=∠F,
∴CE∥BF;
②解:∵∠DAE=∠DCB,∠AED=∠CEB,
∴△ADE∽△CBE,
∴ ,即 ,
∵∠CBD=∠CEB,∠BCD=∠ECB,
∴△CBE∽△CDB,
∴ ,即 ,
∴CB=2 ,
∴AD=6,
∴AB=8,
∵点C为劣弧AB的中点,
∴OC⊥AB,AG=BG= AB=4,
∴CG= =2,
∴△BCD的面积= BD•CG= ×2×2=2.
 
【达标检测】
一、选择题
1. (2017张家界)如图,在⊙O中,AB是直径,AC是弦,连接OC,若∠ACO=30°,则∠BOC的度数是(  )
 
A.30° B.45° C.55° D.60°
【考点】M5:圆周角定理.
【分析】由等腰三角形的性质得出∠A=∠ACO=30°,再由圆周角定理即可得出答案.
【解答】解:∵OA=OC,
∴∠A=∠ACO=30°,
∵AB是⊙O的直径,
∴∠BOC=2∠A=2×30°=60°.
故选D.
2. .(2017湖北宜昌)如图,四边形ABCD内接⊙O,AC平分∠BAD,则下列结论正确的是(  )
 
A.AB=AD B.BC=CD C.  D.∠BCA=∠DCA
【考点】M4:圆心角、弧、弦的关系.
【分析】根据圆心角、弧、弦的关系对各选项进行逐一判断即可.
【解答】解:A、∵∠ACB与∠ACD的大小关系不确定,∴AB与AD不一定相等,故本选项错误;
B、∵AC平分∠BAD,∴∠BAC=∠DAC,∴BC=CD,故本选项正确;
C、∵∠ACB与∠ACD的大小关系不确定,∴ 与 不一定相等,故本选项错误;
D、∠BCA与∠DCA的大小关系不确定,故本选项错误.
故选B.
3. (2017青海西宁)如图,AB是⊙O的直径,弦CD交AB于点P,AP=2,BP=6,∠APC=30°,则CD的长为(  )
 
A.  B.2  C.2  D.8
【考点】M2:垂径定理;KO:含30度角的直角三角形;KQ:勾股定理.
【分析】作OH⊥CD于H,连结OC,如图,根据垂径定理由OH⊥CD得到HC=HD,再利用AP=2,BP=6可计算出半径OA=4,则OP=OA﹣AP=2,接着在Rt△OPH中根据含30度的直角三角形的性质计算出OH= OP=1,然后在Rt△OHC中利用勾股定理计算出CH= ,所以CD=2CH=2 .
【解答】解:作OH⊥CD于H,连结OC,如图,
∵OH⊥CD,
∴HC=HD,
∵AP=2,BP=6,
∴AB=8,
∴OA=4,
∴OP=OA﹣AP=2,
在Rt△OPH中,∵∠OPH=30°,
∴∠POH=30°,
∴OH= OP=1,
在Rt△OHC中,∵OC=4,OH=1,
∴CH= = ,
∴CD=2CH=2 .
故选C.
 

4. (2017湖北咸宁)如图,⊙O的半径为3,四边形ABCD内接于⊙O,连接OB、OD,若∠BOD=∠BCD,则 的长为(  )
 
A.π B.  C.2π D.3π
【考点】MN:弧长的计算;M6:圆内接四边形的性质.
【分析】由圆内接四边形的性质和圆周角定理求出∠A=60°,得出∠BOD=120°,再由弧长公式即可得出答案.
【解答】解:∵四边形ABCD内接于⊙O,
∴∠BCD+∠A=180°,
∵∠BOD=2∠A,∠BOD=∠BCD,
∴2∠A+∠A=180°,
解得:∠A=60°,
∴∠BOD=120°,
∴ 的长= =2π;
故选:C.
5. (2017甘肃天水)如图,AB是圆O的直径,弦CD⊥AB,∠BCD=30°,CD=4 ,则S阴影=(  )
 
A.2π B. π C. π D. π
【考点】M5:圆周角定理;M2:垂径定理;MO:扇形面积的计算.
【分析】根据垂径定理求得CE=ED=2 ,然后由圆周角定理知∠DOE=60°,然后通过解直角三角形求得线段OD、OE的长度,最后将相关线段的长度代入S阴影=S扇形ODB﹣S△DOE+S△BEC.
【解答】解:如图,假设线段CD、AB交于点E,
∵AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB,
∴CE=ED=2 ,
又∵∠BCD=30°,
∴∠DOE=2∠BCD=60°,∠ODE=30°,
∴OE=DE•cot60°=2 × =2,OD=2OE=4,
∴S阴影=S扇形ODB﹣S△DOE+S△BEC= ﹣ OE×DE+ BE•CE= ﹣2 +2 = .
故选B.
 
二、填空题:
6. (2017浙江义乌)如图,一块含45°角的直角三角板,它的一个锐角顶点A在⊙O上,边AB,AC分别与⊙O交于点D,E,则∠DOE的度数为 90° .
 
【考点】M5:圆周角定理.
【分析】直接根据圆周角定理即可得出结论.
【解答】解:∵∠A=45°,
∴∠DOE=2∠A=90°.
故答案为:90°.
7. (2017甘肃张掖)如图,△ABC内接于⊙O,若∠OAB=32°,则∠C= 58 °.
 
【考点】M5:圆周角定理.
【分析】由题意可知△OAB是等腰三角形,利用等腰三角形的性质求出∠AOB,再利用圆周角定理确定∠C.
【解答】解:如图,连接OB,
∵OA=OB,
∴△AOB是等腰三角形,
∴∠OAB=∠OBA,
∵∠OAB=32°,
∴∠OAB=∠OAB=32°,
∴∠AOB=116°,
∴∠C=58°.
故答案为58.
 
8. (2017甘肃张掖)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=1,AB=2,以点A为圆心、AC的长为半径画弧,交AB边于点D,则弧CD的长等于   .(结果保留π)
 
【考点】MN:弧长的计算;KO:含30度角的直角三角形.
【分析】先根据ACB=90°,AC=1,AB=2,得到∠ABC=30°,进而得出∠A=60°,再根据AC=1,即可得到弧CD的长.
【解答】解:∵∠ACB=90°,AC=1,AB=2,
∴∠ABC=30°,
∴∠A=60°,
又∵AC=1,
∴弧CD的长为 = ,
故答案为: .
9. (2017湖南岳阳)我国魏晋时期的数学家刘徽创立了“割圆术”,认为圆内接正多边形边数无限增加时,周长就越接近圆周长,由此求得了圆周率π的近似值,设半径为r的圆内接正n边形的周长为L,圆的直径为d,如图所示,当n=6时,π≈ = =3,那么当n=12时,π≈ = 3.10 .(结果精确到0.01,参考数据:sin15°=cos75°≈0.259)
 
【分析】圆的内接正十二边形被半径分成顶角为30°的十二个等腰三角形,作辅助线构造直角三角形,根据中心角的度数以及半径的大小,求得L=6.207r,d=2r,进而得到π≈ = ≈3.10.
【解答】解:如图,圆的内接正十二边形被半径分成如图所示的十二个等腰三角形,其顶角为30°,即∠O=30°,∠ABO=∠A=75°,
作BC⊥AO于点C,则∠ABC=15°,
∵AO=BO=r,
∴BC= r,OC= r,
∴AC=(1﹣ )r,
∵Rt△ABC中,cosA= ,
即0.259= ,
∴AB≈0.517r,
∴L=12×0.517r=6.207r,
又∵d=2r,
∴π≈ = ≈3.10,
故答案为:3.10
 
【点评】本题主要考查了正多边形和圆以及解直角三角形的运用,把一个圆分成n(n是大于2的自然数)等份,依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形,这个圆叫做这个正多边形的外接圆.
10. (2017湖南岳阳)如图,⊙O为等腰△ABC的外接圆,直径AB=12,P为弧 上任意一点(不与B,C重合),直线CP交AB延长线于点Q,⊙O在点P处切线PD交BQ于点D,下列结论正确的是 ②③④ .(写出所有正确结论的序号)
①若∠PAB=30°,则弧 的长为π;②若PD∥BC,则AP平分∠CAB;
③若PB=BD,则PD=6 ;④无论点P在弧 上的位置如何变化,CPCQ为定值.
 
【分析】①根据∠POB=60°,OB=6,即可求得弧 的长;②根据切线的性质以及垂径定理,即可得到 = ,据此可得AP平分∠CAB;③根据BP=BO=PO=6,可得△BOP是等边三角形,据此即可得出PD=6 ;④判定△ACP∽△QCA,即可得到 = ,即CPCQ=CA2,据此可得CPCQ为定值.
【解答】解:如图,连接OP,
∵AO=OP,∠PAB=30°,
∴∠POB=60°,
∵AB=12,
∴OB=6,
∴弧 的长为 =2π,故①错误;
∵PD是⊙O的切线,
∴OP⊥PD,
∵PD∥BC,
∴OP⊥BC,
∴ = ,
∴∠PAC=∠PAB,
∴AP平分∠CAB,故②正确;
若PB=BD,则∠BPD=∠BDP,
∵OP⊥PD,
∴∠BPD+∠BPO=∠BDP+∠BOP,
∴∠BOP=∠BPO,
∴BP=BO=PO=6,即△BOP是等边三角形,
∴PD= OP=6 ,故③正确;
∵AC=BC,
∴∠BAC=∠ABC,
又∵∠ABC=∠APC,
∴∠APC=BAC,
又∵∠ACP=∠QCA,
∴△ACP∽△QCA,
∴ = ,即CPCQ=CA2(定值),故④正确;
故答案为:②③④.
 
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质,垂径定理,切线的性质以及弧长公式的综合应用,解决问题的关键是作辅助线,构造三角形,解题时注意:垂直弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧.

三、解答题
11.
12.
13. (2017甘肃张掖)如图,AN是⊙M的直径,NB∥x轴,AB交⊙M于点C.
(1)若点A(0,6),N(0,2),∠ABN=30°,求点B的坐标;
(2)若D为线段NB的中点,求证:直线CD是⊙M的切线.
 
【考点】MD:切线的判定;D5:坐标与图形性质.
【分析】(1)在Rt△ABN中,求出AN、AB即可解决问题;
(2)连接MC,NC.只要证明∠MCD=90°即可;
【解答】解:(1)∵A的坐标为(0,6),N(0,2),
∴AN=4,
∵∠ABN=30°,∠ANB=90°,
∴AB=2AN=8,
∴由勾股定理可知:NB= = ,
∴B( ,2).

(2)连接MC,NC                                                 
∵AN是⊙M的直径,
∴∠ACN=90°,
∴∠NCB=90°,
在Rt△NCB中,D为NB的中点,
∴CD= NB=ND,
∴∠CND=∠NCD,
∵MC=MN,
∴∠MCN=∠MNC,
∵∠MNC+∠CND=90°,
∴∠MCN+∠NCD=90°,
即MC⊥CD.
∴直线CD是⊙M的切线.
 
14. (2017张家界)在等腰△ABC中,AC=BC,以BC为直径的⊙O分别与AB,AC相交于点D,E,过点D作DF⊥AC,垂足为点F.
(1)求证:DF是⊙O的切线;
(2)分别延长CB,FD,相交于点G,∠A=60°,⊙O的半径为6,求阴影部分的面积.
 
【考点】ME:切线的判定与性质;KH:等腰三角形的性质;MO:扇形面积的计算.
【分析】(1)连接OD,由等腰三角形的性质证出∠A=∠ODB,得出OD∥AC,证出DF⊥OD,即可得出结论;
(2)证明△OBD是等边三角形,由等边三角形的性质得出∠BOD=60°,求出∠G=30°,由直角三角形的性质得出OG=2OD=2×6=12,由勾股定理得出DG=6 ,阴影部分的面积=△ODG的面积﹣扇形OBD的面积,即可得出答案.
【解答】(1)证明:连接OD,如图所示:
∵AC=BC,OB=OD,
∴∠ABC=∠A,∠ABC=∠ODB,
∴∠A=∠ODB,
∴OD∥AC,
∵DF⊥AC,
∴DF⊥OD,
∵OD是⊙O的半径,
∴DF是⊙O的切线;
(2)解:∵AC=BC,∠A=60°,
∴△ABC是等边三角形,
∴ABC=60°,
∵OD=OB,
∴△OBD是等边三角形,
∴∠BOD=60°,
∵DF⊥OD,
∴∠ODG=90°,
∴∠G=30°,
∴OG=2OD=2×6=12,
∴DG= OD=6 ,
∴阴影部分的面积=△ODG的面积﹣扇形OBD的面积= ×6×6 ﹣ =18 ﹣6π.
 
15. (2017甘肃天水)如图,△ABD是⊙O的内接三角形,E是弦BD的中点,点C是⊙O外一点且∠DBC=∠A,连接OE延长与圆相交于点F,与BC相交于点C.
(1)求证:BC是⊙O的切线;
(2)若⊙O的半径为6,BC=8,求弦BD的长.
 
【考点】MD:切线的判定.
【分析】(1)连接OB,由垂径定理的推论得出BE=DE,OE⊥BD,  =  ,由圆周角定理得出∠BOE=∠A,证出∠OBE+∠DBC=90°,得出∠OBC=90°即可;
(2)由勾股定理求出OC,由△OBC的面积求出BE,即可得出弦BD的长.
【解答】(1)证明:连接OB,如图所示:
∵E是弦BD的中点,
∴BE=DE,OE⊥BD,  =  ,
∴∠BOE=∠A,∠OBE+∠BOE=90°,
∵∠DBC=∠A,
∴∠BOE=∠DBC,
∴∠OBE+∠DBC=90°,
∴∠OBC=90°,
即BC⊥OB,
∴BC是⊙O的切线;
(2)解:∵OB=6,BC=8,BC⊥OB,
∴OC= =10,
∵△OBC的面积= OC•BE= OB•BC,
∴BE= = =4.8,
∴BD=2BE=9.6,
即弦BD的长为9.6.
 

 

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